Arctan Law and Recurrence

goal?

1966年世界杯, 英格兰队依靠一个很难说清楚是否越过门线的进球击败德国获得了冠军, 2010年世界杯, 兰帕德越过门线的进球被裁判忽视, 当时人们都说:"出来混, 总是要还的."

为什么出来混总是要还的? 为什么会有风水轮流转的说法? 以前我没有想过, 估计大多数人都没有想过, 而把这些话当作一种不证自明的常识接受下来.

不过, 最近从随机过程这门课里, 我懂得这些话不仅仅是存在于我们感性思维中的常识, 而是可以从数学上进行证明的. 随机过程中有一个结论叫做 Arctan Law, 通俗的说, Arctan Law 告诉我们这样的道理: 只要英格兰队在1966年以后继续坚持参加世界杯, 那么总有一届, 它会为当初的争议球还债. 赌场的庄家都喜欢出千, 我不知道他们有没有学过随机过程, 但数学的确给了他们出千的理由, 因为 Arctan Law 说明, 如果赌场老板把他的收入完全建立在自己和赌徒的运气上的话, 那么肯定有一天, 他会输掉一切.

在解释 Arctan Law 之前, 先要简单说一下什么是布朗运动, 你可以点这里看看维基百科怎么说, 简单的讲, 布朗运动是一种随时间连续变化的毫无规则的运动, 并且这个时间段内的运动对于下一个时间段如何动是完全没有影响的. 可以说, 布朗运动是对现实中"运气"这个奇怪的东西一个非常好的模拟. 下面的一段分析, 对于数学无感的人可以直接跳过看结论, 但是我非常喜欢在 blog 里输入数学公式, 所以我要继续下去:-)

考虑一个一维标准布朗运动, 我们想知道它在1时刻以后回到原点的概率是多少, 也就是要求

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t }.\)

我们先计算这样一个条件概率

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t\ |\ X_1=b}=2\int^{\infty}_{b}\frac{e^{-x^2/2(t-1)}}{\sqrt{2\pi (t-1)}}dx.\)

它的意思是, 首先在1时刻运动到 b 点, 然后在某 s 时刻回到0的概率. 有了它, 我们就可以求出我们之前需要的概率了:

\(P{X_s=0}=\int^{+\infty}_{-\infty}p_1(0,b)P{X_s=0\ |\ X_1=b}db.\)

式子中的 \(p_1(0,b)\) 是1时刻运动到 b 点的概率. 由于布朗运动是服从正态分布的, 我们可以很容易的算出这个概率的值是:

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{\sqrt{t-1}}.\)

这已经非常接近我想要的结果了, 在上式中令 t 取正无穷, 这个概率就变成了:

\(P{X_s=0,\ s\geq 1}=1.\)

这个式子说的是, 无论在 1 时刻运动到哪一点, 只要继续运动下去, 就有概率为1的可能性要回到原点. 通俗的说, 我去赌博的话, 无论我赢了多少, 如果我不能做到见好就收而是越陷越深, 那么总有一天我会把赢来的钱全部输光. 再次回到日志开头的那句话, 我们假设裁判的误判并不是因为幕后黑手在操控, 而是由于他和球员的站位, 裁判大脑内的电流等一系列随机因素决定, 只要英格兰队继续参加世界杯, 他们是需要为自己在1966年的获利而付出代价的.

从好的方面来理解, 每个人都有觉得自己很背的时候, 但是只要你不放弃并且坚持下去, 那么总有一天命运也会对你微笑的.

你看, 数学不仅仅是鲁豫在节目里傻逼兮兮的一句"我最羡慕数学成绩好的人", 它可以告诉我们很多东西.

13 Comments

  1. 暂不留名

    哈哈,我有一种比较简单的理解,就是只要英格兰队继续参加世界杯,每次就会有一定的概率付出代价和不付出代价,当参加的次数足够多的时候,不付出代价的概率的累乘的积趋于零,换言之英格兰队在某一次世界杯上付出的概率趋于1。这是初高中级别的数学...

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    Todd 回复于 2/11/2010 @ 6:49

    @暂不留名, 没错, 你给出的是另一种英格兰队为什么会倒霉的解释. 不过就像你说的, 毕竟是高中级别的数学:

    1. 你是否想过, 并非无穷多个小于1的数乘起来的极限就一定是0, 所以你需要对英格兰不会倒霉的概率做一定的假设. 也许你假设的是它每次有一半对一半的概率倒霉或者不倒霉, 但如果出现这样一种情况: 每一届的金球奖都是英格兰球员获得, 导致裁判对英格兰队有更多的心理依附, 以至于对其做出不利判罚的可能越来越小怎么办?

    而我只需要假设没有人故意设计要陷害英格兰队即可, 可以允许裁判有心理上的倾向.

    2. 如果上一条算我挑刺的话, 哈哈, 那么你的解释说明不了赌博的人为什么会把钱全部输光, 你需要另一种解释来说明这个问题.

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    暂不留名 回复于 2/11/2010 @ 18:47

    @Todd, 确实很难解释,或许是因为每一次赌博输的概率总是大于赢,而从宏观来看,当赌博的次数足够多,就一定是输多胜少的,也就是说最后一定是赔钱的。我只能勉强解释到这一步了,你的数学公式我看不懂,或许我永远也不会看懂。

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    Todd 回复于 2/11/2010 @ 21:53

    @暂不留名, 等上了大学学了概率论以后应该可以看懂了.

    我可以给你一个简单一些的解释, 比如说最简单的一种赌博形式, 双方掷硬币决定谁胜谁负, 那么每个人都是有一半的概率赢或者输, 可以算出来, 每个人在赌博中的获得的期望是零, 所以长期来看, 应该是不胜不负: 赢多少也要输回去.

    不过人很聪明, 他们会想出一些赌博策略: 比如还是执硬币的游戏, 一个人第一次投入1块钱, 接下来如果他赢了, 就结束回家, 如果输了就将赌注翻倍继续, 一直到赢了才停止, 你可以想想看这个有意思的例子.

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    暂不留名 回复于 4/11/2010 @ 5:07

    @Todd, 期望我能看懂。之前有点误解,我以为是最终要赔钱,原来是把赢来的钱赔光。

    至于下面这个例子,应该是这样的吧:第一当然赢了就回家;第二即使输了,就扩大赌注,一方面期望仍然为零,不赔不赚,另一方面则有可能将之前赔了的翻倍赚回来,一旦赚回来,回家。

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    Kars 回复于 7/11/2010 @ 16:57

    @Todd, 如果 钱都输光了,那也就没机会再赢回来了、、唔、、

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  2. 晨曦

    good!最近我也在重点看概率论与随机过程,分析得很好!
    有这样一句话:量子力学量力学,随机过程随机过。哈哈,挺巧妙的一句话。不过我随机过程学得还行,量子力学就很一般了。

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    Todd 回复于 2/11/2010 @ 11:04

    @晨曦, 我在国内的时候都没学过随机过程...你继续加油啊, 哈哈.

    还有别的: 数学分析数分数, 实变函数学十遍.

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  3. 木鱼猫

    头一回见到用数学方法证明俗语。。。很好很强大

    我觉的俗语产生的过程也很有趣,其实是一个用物质来证明最终定理的方法,跟积分公式异曲同工

    ps. 我十分喜欢你去美国之后写的这些文章,开阔眼界!

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