Collateralized Debt Obligation

CDO Rating

Collateralized Debt Obligation(简称 CDO) 是造成07年次贷危机的"罪魁祸首"之一, 多年过去, 估计很多关注实事, 比较有求知欲的人已经大概搞清了 CDO 合同的定义以及操作程序. 但是 CDO 毕竟是信用风险衍生品中较为复杂的一种, 写这篇 Review 目的在于简单总结一下什么是 CDO, 如何进行数学上的定价, 得到一个大致清晰的轮廓.

直接叙述 CDO 的定义并不助于理解, 所以我将从次贷问题的本源, 贷款买房开始, 一步步说明为什么会产生 CDO, 什么样的投资者需要 CDO, 以及它是怎么定价的.

假设有一个人需要买房但又无法一次性拿出足够的资金, 那么他所做的就是到商业银行进行贷款, 此后每个月按时支付利息, 直到到期后归还本金; 当商业银行放贷后, 因为种种原因, 它需要更多的资金, 它会怎么做呢: 它将很多个贷款人的合同打包卖给某家投资银行, 于是, 投行会付给商业银行略高于这些贷款本金的钱, 相当于贷款人的贷款对象变成了投行, 他们将每个月付给投行利息并到期支付本金. 总结一下, 贷款人获得了贷款; 商业银行起到了类似中介的作用; 投资银行成了实际上借钱给贷款者的银行.

可是, 投行不同于传统商业银行, 他们的兴趣不在发放贷款和收取利息, 于是投行将这些贷款合同"证券化", 将"贷款"变成证券(Mortgage Backed Securities, 简称 MBS) 卖出去, 购买这些证券的投资者成了借钱给贷款者的人, 现在他们将收到这些贷款的利息. 到这里, 投行像之前的商业银行一样, 成了某种中介, 将贷款转嫁给了投资者. 于是, 第一个问题出现了: 传统上, 当贷款者到商业银行申请贷款时, 他们必须具有良好的信用记录才能顺利获得贷款; 而那些信用记录不够好的人往往就无法借到钱, 可是, 当经历了商业银行和投行两层中介之后, 投行总能找到愿意向信用记录不好的人借钱的投资者(次级贷), 这些人借钱出去的方式就通过购买前面提到的 MBS. 也许有人会问, 为什么这些投资人愿意借钱给信用记录不好的人, 关键在于, 这些投资人手里拿着的, 不再是传统的"欠条", 而是证券, 一旦他们觉得收回借款有问题, 立刻就能将这些证券在市场上卖掉. 所以, 看上去一切都很美好.

假设这些 MBS 的收益率为10%, 第二个问题会在这里出现, 可能会有一些投机者觉得这个收益率太低, 而他们愿意冒更大的风险去获得更高的回报; 与此同时, 会有一些投资者或者机构, 例如养老基金(Pension Funds), 他们因为自身的偏好或限制只能投资那些风险较低的产品. 如何满足这些不同风格的投资人呢? 投行创造性的提出了叫做 Collateralized Debt Obligation 也就是 CDO 的产品. CDO 是 MBS 的一种变形, 投行将贷款合同变成三个不同等级的证券: Senior tranche, 收益率 6%; Mezzanine tranche, 收益率 10%; Equity tranche, 收益率 16%. 注意这里的收益率数字只是为了打个比方. CDO 怎么运作呢, 假设有贷款人因为破产而无法偿还贷款了, 那么 CDO 的总收益将会下降, 在所能收到的收益中, 投行将首先满足购买了 Senior tranche 的投资人, 其次是 Mezzanine tranche, 最后是 Equity tranche, 所以, Equity tranche 将最先承担风险, 作为补偿, 他们在无人破产的情况下会获得更高的收益; 而谨慎的投资人可以购买 Senior tranche, 虽然收益小, 但是风险同样小. 魔术师般的投行再次满足了所有人.

最大的问题, 也是几年前全球市场所处的情况, 就是现在, 假设又有一家投行, 它没有购买"贷款", 取而代之的, 它将前一个 CDO 中的 Equity tranche 拿来, 变成新的 CDO(Secondary CDO) 卖出去… 风险立刻成倍的扩大了. 这时候, 房市如果出现问题, 越来越多信用不好的人终于还不了贷款了, 很快, 第一层 CDO 的 Equity tranche 将无法收到任何收益, 进而, 购买了第二层 CDO 的投资者变得血本无归. 这些 CDO 投资者不仅仅在美国, 英国, 而是分部在全球各地, 于是, 整个世界金融体系陷入混乱.

到此为止, CDO 是什么已经比较清晰了, 下一步是技术性的部分, 也就是当 CDO 进行买卖时, 它合理的价格应该是怎样的. 这里以 Mezzanine tranche 进行举例, Senior tranche 和 Equity tranche 类似.

假设 CDO 合同到期时间是 T, 有 n 个贷款人, 其贷款金额分别为 \(N_j\), \(j=1,\ldots,n\);

\(R_j\) 是第 j 个贷款人破产后 CDO 购买者所能获得补偿的比例;

\(\tau_j\) 代表破产的时间, \(H^j_t=1_{\tau_j\leq t}\) 表示第 j 个人在 t 之前已经破产, 于是总计的损失 \(L(t)\) 可以表示为

\(L(t)=\sum^n_{j=1}(1-R_j)N_j1_{\tau_j\leq t}.\)

假设 Mezzanine tranche 的上下限分别是 A 和 B, 于是其对应的损失为

\(M_t=(L(t)-A)1_{[A,B]}L(t)+(B-A)1_{[B,C]}L(t).\)

于是, 从 CDO 购买者的角度来讲, 他的损失是

\(\text{Protection Leg}=\int^T_0\beta_tdM_t\),

其中 \(\beta_t\) 是 discount factor. 他每段时间所能获得的收益是

\(\text{Premium Leg}=\kappa\sum^J_{j=1}\beta_{t_j}(t_j-t_{j-1})\left(\max\{M_{t_j},B\}-\max\{A,M_{t_j}\}\right)\),

这样为了给 Mezzanine tranche 定价, 需要计算如下两个期望

\(\mathbb{E}\left(\int^T_0\beta_tdM_t\right),\)
\(\mathbb{E}\left(\kappa\sum^J_{j=1}\beta_{t_j}(t_j-t_{j-1})\left(\max\{M_{t_j},B\}-\max\{A,M_{t_j}\}\right)\right)\).

通过 Fubini 定理, 可以将计算转化为求 \(\mathbb{E}(M_t)\) 的值, 假设 hazard rate 是 \(\mathcal{F}\)-adapted, 其中 \(\mathcal{F}\) 是由布朗运动生成的 flitration 的话, 那么可以用 Gaussian Copula 的方法来进行求解. 当然还有更有效的方法, 但这是最直观的一种.

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