Stand Alone Complex

Manifold

Tao 发表于 11/04/2006 | 分类技术 | | 现有0条评论

流形可以視為近看起來象歐氏空間或其他相對簡單的空間的物體。例如，人們曾經以為地球是平坦的，因為我們相對於地球很小，這是一個可以理解的假象。所以，一個理想的數學上的球在足夠小的區域也象一個平面，這使它成為一個流形。但是球和平面有很不相同的整體結構:如果你在球面上沿一個固定方向走，你最終回到起點，而在一個平面上，你可以一直走下去。一個曲面是二維的。但是，流形可以有任意維度。其他的例子有，一根線的圈(一維的)以及三維空間中的所有旋轉(三維的)。旋轉所組成的空間的例子表明流形可以是一個抽象空間。流形的技術使得我們能夠獨立的考慮這些對象，從某種意義上來講，我們可以有一個不依賴於任何其他空間的球。局部的簡單性是一個很強的要求。例如，我們不能在球上吊一個線並把這個整體叫做一個流形；包含把線粘在球上的那一點的區域都不是簡單的 — 既不是線也不是面 — 無論這個區域有多小. 我們用收集在地圖集中的平的地圖在地球上航行。類似的，我們可以用在數學圖集中的數學地圖(稱為坐標圖)來描述一個流形.通常不可能用一張圖來描述整個流形，這是因為流形和建造它的模型所用的簡單空間在全局結構上的差異。當使用多張圖來覆蓋流形的時候，我們必須注意它們重疊的區域，因為這些重疊包含了整體結構的信息。有很多不同種類的流形。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐氏空間。其他的變種包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。

引例: 圓圈

四張圖分別把圓的一部分映射到一個開區間，它們合在一起覆蓋了整個圓。

圓是除歐氏空間外的拓撲流形的最簡單的例子。讓我們考慮,例如一個半徑為1，圓心在原點的圓。若x 和y是圓上的點的坐標，則我們有x² + y² = 1. 局部看來，圓像一條線，而線是一維的。換句話說，我們只要一個坐標就可以在局部描述一個圓。例如，圓的上半部，y-坐標在那裡是正的(右圖中黃色的部分)。那個部分任何一點都可以用x-坐標確定。所以，存在雙射 χ_top，它通過簡單的投影到第一個坐標(x)將圓的黃色部分映射到開區間(−1, 1)：

$\chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x. \,$

這樣的一個函數稱為圖(chart)。類似的，下半部（紅），左半部（藍），右半部（綠）也有圖。合起來,這些部分覆蓋了整個圓，我們稱這四個圖組成一個該圓的圖集(atlas)。注意上部和右部的圖的重疊部分。它們的交集位於圓上x和y坐標都是正的四分之一弧上。兩個圖χ_top 和χ_right 將這部分雙射到區間(0, 1)。這樣我們有個函數T 從(0, 1)到它自己，首先取黃色圖的逆到達圓上再通過綠圖回到該區間:

$T(a) = \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}(a)\right) = \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) = \sqrt{1-a^2}.$

這樣的函數稱為變換映射(坐標變換).

圓圈流形基於斜率的坐標圖集，每個圖覆蓋除了一點之外的所有點。

上，下，左，右的坐標圖表明園圈是一個流形，但它們不是唯一可能的圖集。坐標圖不必是幾何射影，而圖的數量也可以有某種選擇。考慮坐標圖

$\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}$

和

$\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}.$

這裡s是穿過坐標為(x,y)的可變點和固定的中心點(−1,0)的線的斜率; t是鏡像對稱，其中心點為(+1,0)。從s到(x,y)的逆映射為

$x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}};$

我們很容易確認x²+y² = 1 對於所有斜率值s成立。這兩個圖提供了圓圈的又一個圖集，其變換函數為

$t = {1\over s}.$

注意每個圖都缺了一點，對於s是(−1,0)，對於t是(+1,0)，所以每個圖不能獨自覆蓋整個圓圈。利用拓撲學的工具，我們可以證明沒有單個的圖可以覆蓋整個圓圈；在這個簡單的例子里，我們已經需要用到流形可以擁有多個坐標圖的靈活性。

從代數曲線來的四個流形: ■ 圓圈, ■ 拋物線, ■ 雙曲線, ■ 三次曲線.

流形不必連通(整個只有一片);這樣，一對分離的圓圈可以是一個拓撲流形。它們不必是閉的；所以不帶兩個端點的線段也是流形。它們也不必有限;這樣拋物線也是一個拓撲流形。把這些自由選擇加起來，兩個另外的拓撲流形的例子有雙曲線和三次曲線y² - x³ + x = 0上的點的軌跡。但是，我們排除了向兩個相切的圓(它們共享一點並形成8字形)的例子；在切點我們無法創建一個滿意的到一維歐氏空間的坐標圖。(我們可以在代數幾何中用另一種觀點來看，在那裡我們考慮四次曲線 ((x − 1)² + y² − 1)((x + 1)² + y² − 1) = 0上的複數點，其實數點構成一對在原點相切的一對圓。從微積分的觀點來看，圓的變換函數T只是開區間之間的函數，所以我們知道它意味著T是可微的。事實上，T在(0, 1)可微而且對於其他變換函數也是一樣。所以，這個圖集把圓圈變成可微流形。

坐標圖，圖集和變換映射

坐標圖(chart) 一個流形的一個坐標映射,坐標圖, 或簡稱圖是一個在流形的一個子集和一個簡單空間之間的雙射，使得該映射及其逆都保持所要的結構。對於拓撲流形，該簡單空間是某個歐氏空間Rⁿ而我們感興趣的是其拓撲結構。這個結構被同胚保持，也就是可逆的在兩個方向都連續的映射。圖對於計算極其重要，因為它使得計算可以在簡單空間進行，再把結果傳迴流形。例如極坐標，是一個R²除了負x軸和原點之外的圖。上節提到的映射χ_top是圓圈的一個圖圖集多數流形的表述需要多於一個的圖(只有最簡單的流形只用一個圖)。覆蓋流形的一個特定的圖的集合稱為一個圖集。圖集不是唯一的，因為所有流形可以被不同的圖的組合用很多方式覆蓋。包含所有和給定圖集相一致的圖的圖集稱為極大圖集。不像普通的圖集，極大圖集是唯一的。雖然可能在定義中有用，這個對象非常抽象，通常不直接使用(例如，在計算中)。 變換映射 圖集中的圖通常會互相重疊，而流形中的一個點可能會被好幾個圖所表示。如果兩個圖重疊，它們的部分會表示流形的同一個區域。這些部分之間的關聯代表流形上同一點的坐標點的映射，譬如上面圓圈例子中的映射T，稱為坐標變換,變換函數,或者轉換函數,轉換映射。 附加的結構 圖集也可用於定義流形上的附加結構。結構首先在每個圖上分別定義。如果所有變換映射和這個結構相容，該結構就可以轉到流形上。這是微分流形的標准定義方式。如果圖集的變換映射對於一個拓撲流形保持Rⁿ 自然的微分結構(也就是說，如果它們是微分同胚)，該微分結構就傳到了流形上並把它變成微分流形。通常，流形的結構依賴於圖集，但有時不同的圖集給出相同的結構。這樣的圖集稱為相容的。

構造

一個流形可以以不同方式構造，每個方式強調了流形的一個方面，因而導致了不同的觀點。

圖集

該坐標圖把球面有正z坐標的部分映射到一個圓盤。

可能最簡單的構造一個流形的方法是在上面的例子中的圓圈的構造方法。首先，確認R²的一個子集，然後覆蓋這個自己的圖冊被構造出來。流形的概念歷史上就是從這樣的構造發展出來的。這裡有另一個例子，把這個方法應用在球面的構造上:

帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R³的子集:

$S = \{ (x,y,z) \in \mathbf{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}.$

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R²的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ

χ(x,y,z) = (x,y),

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到(x, y)平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到(x, z)平面的兩個坐標圖以及投影到(y, z)平面的兩個坐標圖一起，我們得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。

這可以很容易地擴展到高維的球面。

貼補

流形可以通過把碎片以一種相容的方式粘合來構造，使得碎片成為互相覆蓋的坐標圖。這種構造對於任何流形都是可行的，所以經常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中於圖冊的構造，把流形作為坐標圖所自然的提供的貼片，因為不涉及外部的空間，這導致了流形的內在的觀點。

這裡，流形通過給定圖冊來構造，圖冊通過定義轉換映射來得到。流形的一個點因而是指通過變換映射映到同一個點的坐標點的等價類。坐標圖把等價類映射到一個貼片上的點。通常會對變換映射有很強的一致性要求。對於拓撲流形，它們被要求為同胚；如果它們也是微分同胚，最後得倒的流形就是微分流形。

這可以通過變換映射圓圈例子的第二部分中的t = ¹⁄_s來解釋。從直線的兩個拷貝開始。第一個拷貝用坐標s，第二個拷貝用t。現在，通過把第二個拷貝上的點t和第一個拷貝上的點¹⁄_s作為同一個點來粘合起來(點t = 0不和任何第一個拷貝上的點認同)。這就給出了一個圓圈。

內在和外在的觀點

第一種構造和這種構造非常相似，但是他們代表了相當不同的觀點。在第一種構造中，流形被視為嵌入到某個歐氏空間中。這是外在的觀點。當一個流形用這種方式來看的時候，它很容易通過直覺從歐氏空間得倒附加的結構。例如，在歐氏空間，很明顯某個點的一個向量是否和穿過該點的曲面相切或者垂直。

貼補構造不用任何嵌入，只是簡單把流形看作拓撲空間本身。這個抽象的觀點稱為內在的觀點。這使得什麼是切向量更難以想象。但是它表達了流形的本質，在計算上來講，這使我們避免了使用更高的維度，例如我們只要二維而不是三維就可以作球面上的計算。

作為貼補的n維球面

n維球面Sⁿ可以通過粘合Rⁿ的兩個拷貝來構造。他們之間的變換函數定義為

$\mathbf{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbf{R}^n \setminus \{0\}: x \mapsto x/\|x\|^2.$

這個函數是它自身的逆，因而可以在兩個方向使用。因為變換映射是一個光滑函數，這個圖冊定義了一個光滑流形。

如果我們取n = 1, 我們就得倒了上面圓圈的例子。

函數的零點

很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐氏空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。

如果一個可微函數的雅戈比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的領域微分同胚於一個歐氏空間。因此零點集是一個流形。

作為一個函數零點的n維球面

n維球面Sⁿ經常定義為

$\mathbf{S}^n := \{x \in \mathbf{R}^{n+1} : \|x\| = 1 \}$

這等價為如下函數的零點

$x \mapsto \|x\| - 1.$

這個函數的雅戈比矩陣是

$\begin{bmatrix} x_1 & \ldots & x_{n+1} \end{bmatrix},$

它的秩對於除了原點的所有點為1(對於1×n矩陣就是滿秩的)。這證明n維球面是一個微分流形。

認同一個流形上的不同點

可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。結果經常不是流形，但在有些情況下是流形。

這些情況下，認同過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個點被視為同一個如果一個能被該群的一個元素移動到另一個上面。如果M是該流形而G是該群，結果空間稱為商空間，並記為M/G。可以通過認同點來構造的流形包括環面和實射影空間(分別從一個平面和一個球面開始)。

直積

流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。

積流形的維度是其因子的維度之和。其拓撲是乘積拓撲，而坐標圖的直積是積流形的坐標圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結構，相應的積圖冊定義了積流形上的一個微分結構。因子上定義的其他結構也可以同樣處理。如果一個因子有一個邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構造環面和有限圓柱面，例如，分別定義它們為S¹ × S¹和S¹ × [0, 1]。

有限圓柱面是帶邊界的流形。

沿邊界粘合

兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。

形式化的，粘合可以定義為兩個邊界的一個雙射。兩個點被認同為一個，如果它們互相映射到對方。對於一個拓撲流形，這個雙射必須是同胚，否則結果就不是拓撲流形。類似的，對於一個微分流形，它必須是微分同胚。對於其它流形，其他的結構必須被這個雙射所保持。

有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得倒。

豪斯朵夫假設

兩個原點的線

我們在這裡給出一個空間的例子，它滿足拓撲流形所有的條件，除了它不是豪斯朵夫空間(Hausdorff space)。取兩個R的拷貝，把它們寫作

$\mathbf{R}\times\{0\}$ and $\mathbf{R}\times\{1\}$ ,

並定義如下等價關係

$(x,0) \sim (x,1)$ if $x \neq 0$ .

從這個等價關係得到的商空間L是一個象實直線那樣的空間，除了有兩個點"佔據"了原點。特別的是，它們不能被不交的開集所分離，所以L不是豪斯朵夫的。它是一個拓撲流形，但不是豪斯朵夫拓撲流形。

經常，拓撲流形被定義為必須是豪斯朵夫的，在這個定義下，上面的例子不是流形。

流形的其他類型和推廣

要在流形上研究幾何，通常必須用附加的結構來裝飾這些空間，例如上面的微分流形所加入的微分結構。根據所需要的不同的幾何，有許多其它的可能性:

複流形: 複流形是建模在Cⁿ上的流形，在坐標圖的重疊處以全純函數為變換函數。這些流形是復幾何研究的基本對象。一個一維複流形稱為黎曼曲面。

巴拿赫和Fréchet流形:要允許無窮維，可以考慮巴拿赫流形，它局部同胚於巴拿赫空間。類似的，Fréchet流形局部同胚於Fréchet space。

軌形(Orbifolds):一個軌形是流形的推廣，允許某種"奇異點"在其拓撲中存在。大致來講，它是局部看起來像一些簡單空間(例如，歐氏空間)通過各種有限群的群作用的商。奇點對應於群作用的不動點，而作用必須在某種意義下相容。

代數簇和概形(Algebraic varieties and schemes):一個代數簇是幾個仿射代數簇粘起來得到的，仿射代數簇是在代數封閉的域上多項式的零點集。類似的，概形是仿射概形粘起來得到的，而仿射概形是代數簇的一個推廣。二者都和流形相關，但都使用層而非坐標圖集來構造。

歷史

一個清楚地把曲線和曲面本身構想為空間的可能是高斯，他以他的theorema egregium('突出的定理')建立了內在的微分幾何。

黎曼是第一個廣泛的展開真正需要把流形推廣到高維的工作的人。流形的名字來自黎曼原來的德語術語Mannigfaltigkeit,William Kingdon Clifford把它翻譯為"manifoldness"(多層)。在他的哥廷根就職演說中，黎曼表明一個屬性可以取的所有值組成一個Mannigfaltigkeit。他根據值的變化連續與否對stetige Mannigfaltigkeit和離散 [sic] Mannigfaltigkeit(連續流形 和不連續流形)作了區分。作為stetige Mannigfaltikeiten的例子，他提到了物體顏色和在空間中的位置，以及一個空間形體的可能形狀。他把一個n fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n次擴展的或n-維流形)構造為一個連續的(n-1) fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten堆。黎曼直覺上的Mannigfaltigkeit概念發展為今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。

交換簇的概念在黎曼的時代已經被隱含的作為複流形使用。拉格朗日力學和哈密爾頓力學,從幾何方面考慮，本質上也是流形理論。

龐加萊研究了三維流形，並提出一個問題，就是現在所謂的龐加萊猜想:所有閉簡單連通的三維流形同胚於3維球嗎？這個問題還未完全解決，但是Grigori Perelman似乎有不錯的進展。

Hermann Weyl在1912年給出了微分流形的一個內在的定義。該課題的基礎性方面在1930年代被Hassler Whitney等人運用從19世紀下半葉就開始發展的精確的直覺理清，並通過微分幾何和李群理論得到了發展。

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引例: 圓圈

坐標圖，圖集和變換映射

構造

圖集

該坐標圖把球面有正z坐標的部分映射到一個圓盤。

帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R³的子集:

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R²的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到(x, y)平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到(x, z)平面的兩個坐標圖以及投影到(y, z)平面的兩個坐標圖一起，我們得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。

這可以很容易地擴展到高維的球面。

貼補

內在和外在的觀點

作為貼補的n維球面

函數的零點

很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐氏空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。

如果一個可微函數的雅戈比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的領域微分同胚於一個歐氏空間。因此零點集是一個流形。

作為一個函數零點的n維球面

認同一個流形上的不同點

可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。結果經常不是流形，但在有些情況下是流形。

直積

流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。

有限圓柱面是帶邊界的流形。

沿邊界粘合

兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。

有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得倒。

兩個原點的線

歷史

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引例: 圓圈

坐標圖，圖集和變換映射

構造

圖集

該坐標圖把球面有正z坐標的部分映射到一個圓盤。

帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R3的子集:

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R2的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到(x, y)平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到(x, z)平面的兩個坐標圖以及投影到(y, z)平面的兩個坐標圖一起，我們得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。

這可以很容易地擴展到高維的球面。

貼補

內在和外在的觀點

作為貼補的n維球面

函數的零點

很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐氏空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。

如果一個可微函數的雅戈比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的領域微分同胚於一個歐氏空間。因此零點集是一個流形。

作為一個函數零點的n維球面

認同一個流形上的不同點

可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。結果經常不是流形，但在有些情況下是流形。

直積

流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。

有限圓柱面是帶邊界的流形。 沿邊界粘合

兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。

有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得倒。

兩個原點的線

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球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R³的子集:

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R²的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ

有限圓柱面是帶邊界的流形。

沿邊界粘合