周期线性系统的约化问题

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果:对于一个T周期的实系统$\dot x=A(t)x$ 可以通过2T周期的实变量代换$x=p(t)y$将系统约化成常系数的实系统$\dot x=Bx$ 但有的时候,我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题,至今没有办法对任意的系统进行这样的操作,我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下,如何做这样的约化。

定理:考虑方程$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$,其中A是n阶实常数矩阵,特征值为$\lambda_1, ..., \lambda_n$$Q(t)$$\mathbf R^{n\times n}$中的T周期矩阵。假设 (1)令$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$F(\theta)$$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$上解析, (2)$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$,由周期系统的性质,存在正数$\delta$使得$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$, 那么,当$\varepsilon_0$充分小且$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$时,实系统$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$可以通过T周期的实变换约化为实常数系统$\dot y=By$

可见,在对实的常系数系统做T周期的小扰动时,存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想,我将在以后大致进行说明,迭代思想在动力系统中非常关键,比如重要的KAM理论。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

使用新浪微博登陆