Arctan Law and Recurrence

goal?

1966年世界杯, 英格兰队依靠一个很难说清楚是否越过门线的进球击败德国获得了冠军, 2010年世界杯, 兰帕德越过门线的进球被裁判忽视, 当时人们都说:"出来混, 总是要还的."

为什么出来混总是要还的? 为什么会有风水轮流转的说法? 以前我没有想过, 估计大多数人都没有想过, 而把这些话当作一种不证自明的常识接受下来.

不过, 最近从随机过程这门课里, 我懂得这些话不仅仅是存在于我们感性思维中的常识, 而是可以从数学上进行证明的. 随机过程中有一个结论叫做 Arctan Law, 通俗的说, Arctan Law 告诉我们这样的道理: 只要英格兰队在1966年以后继续坚持参加世界杯, 那么总有一届, 它会为当初的争议球还债. 赌场的庄家都喜欢出千, 我不知道他们有没有学过随机过程, 但数学的确给了他们出千的理由, 因为 Arctan Law 说明, 如果赌场老板把他的收入完全建立在自己和赌徒的运气上的话, 那么肯定有一天, 他会输掉一切.

在解释 Arctan Law 之前, 先要简单说一下什么是布朗运动, 你可以点这里看看维基百科怎么说, 简单的讲, 布朗运动是一种随时间连续变化的毫无规则的运动, 并且这个时间段内的运动对于下一个时间段如何动是完全没有影响的. 可以说, 布朗运动是对现实中"运气"这个奇怪的东西一个非常好的模拟. 下面的一段分析, 对于数学无感的人可以直接跳过看结论, 但是我非常喜欢在 blog 里输入数学公式, 所以我要继续下去:-)

考虑一个一维标准布朗运动, 我们想知道它在1时刻以后回到原点的概率是多少, 也就是要求

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t }.\)

我们先计算这样一个条件概率

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t\ |\ X_1=b}=2\int^{\infty}_{b}\frac{e^{-x^2/2(t-1)}}{\sqrt{2\pi (t-1)}}dx.\)

它的意思是, 首先在1时刻运动到 b 点, 然后在某 s 时刻回到0的概率. 有了它, 我们就可以求出我们之前需要的概率了:

\(P{X_s=0}=\int^{+\infty}_{-\infty}p_1(0,b)P{X_s=0\ |\ X_1=b}db.\)

式子中的 \(p_1(0,b)\) 是1时刻运动到 b 点的概率. 由于布朗运动是服从正态分布的, 我们可以很容易的算出这个概率的值是:

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{\sqrt{t-1}}.\)

这已经非常接近我想要的结果了, 在上式中令 t 取正无穷, 这个概率就变成了:

\(P{X_s=0,\ s\geq 1}=1.\)

这个式子说的是, 无论在 1 时刻运动到哪一点, 只要继续运动下去, 就有概率为1的可能性要回到原点. 通俗的说, 我去赌博的话, 无论我赢了多少, 如果我不能做到见好就收而是越陷越深, 那么总有一天我会把赢来的钱全部输光. 再次回到日志开头的那句话, 我们假设裁判的误判并不是因为幕后黑手在操控, 而是由于他和球员的站位, 裁判大脑内的电流等一系列随机因素决定, 只要英格兰队继续参加世界杯, 他们是需要为自己在1966年的获利而付出代价的.

从好的方面来理解, 每个人都有觉得自己很背的时候, 但是只要你不放弃并且坚持下去, 那么总有一天命运也会对你微笑的.

你看, 数学不仅仅是鲁豫在节目里傻逼兮兮的一句"我最羡慕数学成绩好的人", 它可以告诉我们很多东西.

Goodbye Lippi

italy defeated

四年前,甚至两年前,我还是意大利队坚定的支持者,曾经也没想到如今会对它的出局这么幸灾乐祸。

因为里皮?因为球队没有国际的队员?我觉得都不是,四年前夺得世界杯的时候,我喜欢在 blog 上贴球迷庆祝的照片,但当时已感觉异样,因为照片上都是意大利人。是的,支持另一个国家的国家队,真是一件奇怪的事情。

意大利为什么会从这样一个简单的小组被淘汰,各种各样的分析和评论已经铺天盖地了,可我还是想说。

的确,无法否认意大利足球的大环境出了问题,优秀的年轻本土球员数量不足,大牌外援出走,联赛竞争力下降,种种这一切,身在意大利国外的人,很难能解释清楚。但就算情况已经不能更糟糕,凭借意大利足球的实力,从世界杯小组赛出线应该是绝对没有问题的。里皮,最直接的责任者,毁掉了这一切。对于国际米兰的球迷,这是我们熟悉的里皮,当初在国际米兰那个固执,偏爱亲信,像无头苍蝇一样的里皮如今在意大利国家队现身了。

昨天的比赛,里皮排出的4-3-3阵型可谓完败,中场居然让德罗西拖后分球,还加上已经废掉的加图索,直接导致蒙托里沃在前腰位置拿不到球,两个边锋也跟着打酱油,偏偏三个中场抢截能力都有问题,攻不上去,抢不下来,边锋也不回防,场上一片散沙。让德罗西在后腰上组织,这多么像费拉拉给梅洛分配的任务啊,里皮重用尤文的人,导致意大利连犯错都和尤文相似。让人纳闷的是,如果里皮需要的是不回防的边锋,那意大利还有谁比巴洛特利更适合呢?虽然有专家口口声声说,意大利需要的是整体,而不是卡萨诺或者巴洛特利的个人英雄主义,可意大利偏偏要等夸利亚雷拉上场后才能在最危险的位置伤害对手,球队失利后,媒体球迷唯独只为夸利亚雷拉唏嘘,如果这不叫个人英雄主义的话,只能说意大利在自欺欺人。

国际球迷不会想不通里皮为什么喜欢尤文的亚昆塔,卡纳瓦罗,马尔基西奥这些能力不足的球员,以及他为什么不带博列洛,安布罗西尼而选择4年前他手下的加图索和赞布罗塔。当初在国米,他就买来尤戈维奇,保罗索萨,佩鲁济这些尤文的亲信,事实上,佩鲁济就比帕柳卡强吗,尤戈维奇和保罗索萨对于球队又能有多少提升?对于今天发生在意大利的一切,我一点也不奇怪。

好在里皮要下台了,有这样一个结局,对他来说也算“死得其所”。我对普兰德利还是比较看好,今年的联赛已经为他正名,走了梅洛,来了扎内蒂,不管是谁,普兰德利都能发挥他的作用,带着不算强大的佛罗伦萨队在欧冠中打出了风格,仅仅因为裁判而被拜仁淘汰,选择普兰德利作为意大利队复兴的开始,应该是正确的。

Spain 0-1 Swiss

spain 0-1 swiss

大热门西班牙终于登场亮相了, 逆着 twitter 上一片叫好支持的声音, 我在开赛前发了两句话: 我感觉西班牙打不过荷兰; 瑞士是有能力守成平局的. 最终没想到瑞士不仅守住了, 还打进了一球, 希斯菲尔德不也说吗, 赛前没想到会赢, 瑞士队其实谈不上有太强的攻击力的. 我还预测西班牙想进球得靠定位球, 可是在相当长的时间里, 他们的战术角球等于把定位球转化成了阵地战. 所以, 也说不清我关于定位球的说法是对了还是错了. 关键是, 我为什么认为瑞士会让西班牙痛苦呢. 这篇日志的大部分已经在校内上发过了, 懒得再做修改, 直接拷贝过来.

昨晚我在从浦口回来的公交车上, 看见 twitter 上一窝蜂的支持西班牙, 什么大热门终于登场了, 什么期待大胜, 等等等等, 实话说, 那一时刻我脑海中浮现的是欧冠.

国米对巴萨的两回合半决赛踢完后, 我把录像下载下来, 没事就看, 我觉得这是今年世界足球水平最高的两场比赛, 因为两种风格, 两种打法在这两场比赛中已经发挥到了极致, 你想找到的足球内容, 这两场全有.

瑞士是什么风格? 上届世界杯常规时间一球未失; 西班牙? 就是和巴萨差不多吧. 看见那么多不懂球瞎嚷嚷西班牙, 我心里烦躁, 忍不住说出实话: 瑞士有能力守成平局.

后来我看了比赛, 发现瑞士踢的不如国米, 西班牙也不如巴萨. 而且比赛场面和我闭着眼睛想的都差不多.

瑞士不如国米是废话, 西班牙不如巴萨并不是因为少了梅西, 而是, 西班牙没有把自己的优势完全发挥出来.

我想到瑞士会不丢球, 但没想到他们能进球, 更没想到西班牙丢球后的踢法. 赛后和倪晔交流了一下, 他认为在西班牙队哈维的核心作用不够明显, 巴萨全是围绕哈维传球, 但西班牙队哈维的球到了队友脚下, 队友就只想着自己带, 自己突破. 我之前说我没事就看国米和巴萨的半决赛, 巴萨给我印象最深的, 就是主场皮克的进球. 那个球大概能说明, 西班牙为什么不如巴萨.

当时80多分钟, 巴萨要进两个球, 皮克一如既往的冲到前场变成了前锋, 那个进球的过程大概是这样的: 皮克站在国米的后卫线上, 跺着小碎步, 前跳后跳, 就是准备插上; 哈维看到了皮克, 他大概有两次想给皮克送球, 但是找不合适的机会, 于是他继续和身边的队友做着短传过渡; 终于, 在某一瞬间, 球路畅通了, 时机成熟, 哈维传出了致命的直传, 皮克接球扣过科尔多巴和萨塞尔把球打进.

看了这球我只能佩服, 巴萨太强. 国米已经把巴萨防的崩溃了, 但巴萨还是踢出了他们自己的风格, 打进这样的球, 所以不得不服. 这球诠释了传递的意义, 不是为了娱乐, 不是为了华丽, 而是通过一次次的短传, 踏踏实实的寻找对手的空档.

但是昨天在西班牙身上, 看不到这一点, 西班牙的节奏比较快, 有点太快了, 落后的时候堆了好几个边锋, 有机会就往禁区里吊, 哈维的球出去就没了影子, 整个是赌博式的. 而且皮克也没顶上锋线, 博斯克大概忘了巴萨对切尔西以及国米的比赛了. 仔细想想, 西班牙的前锋在遇到密集防守时, 有几个顶用的? 托雷斯伤刚好, 他的状态就比伊布强? 比利亚是厉害, 但他比梅西还厉害? 梅西碰到墙也没辙, 所以这几个前锋也别指望了. 有巴萨的形, 踢的也是巴萨的意思, 但精髓上, 好像还差那么一点点.

西班牙还是强队, 我相信洪都拉斯和智利都不足以阻挡他们, 但是从这场比赛来看, 他们还没发挥出自己应有的水平, 可怕的就是, 不是他们故意有所保留, 而是似乎他们自己也没意识到自己拥有什么, 这是本质性的. 西班牙如果碰到德国, 葡萄牙什么的, 估计还是很轻松搞定, 但这次的巴西, 荷兰, 甚至意大利, 他们都不一定踢的过. 从打法和状态来看, 我觉得巴西跟荷兰是最有希望的.