周期线性系统的约化问题

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果:对于一个T周期的实系统$\dot x=A(t)x$ 可以通过2T周期的实变量代换$x=p(t)y$将系统约化成常系数的实系统$\dot x=Bx$ 但有的时候,我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题,至今没有办法对任意的系统进行这样的操作,我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下,如何做这样的约化。

定理:考虑方程$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$,其中A是n阶实常数矩阵,特征值为$\lambda_1, ..., \lambda_n$$Q(t)$$\mathbf R^{n\times n}$中的T周期矩阵。假设 (1)令$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$F(\theta)$$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$上解析, (2)$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$,由周期系统的性质,存在正数$\delta$使得$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$, 那么,当$\varepsilon_0$充分小且$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$时,实系统$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$可以通过T周期的实变换约化为实常数系统$\dot y=By$

可见,在对实的常系数系统做T周期的小扰动时,存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想,我将在以后大致进行说明,迭代思想在动力系统中非常关键,比如重要的KAM理论。

Floquet 定理

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程: \dot{x}=A(t)x,其中A(t)关于t是T周期的。 首先可以证明对于方程的一个基解矩阵\Phi(t)\Phi(t+T)也是方程的基解矩阵,于是存在一个常矩阵C满足\Phi(t+T)=\Phi(t)C,而且C可以表示成C=e^{BT},B是一个常数矩阵。 令P(t)=\Phi(t)e^{-Bt},易知P(t)是T周期的。 下面做变量代换x=P(t)y,并将x代入原方程\dot{x}=A(t)x即可得到\dot{y}=By 至此,就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义,因为它的高度概括性,使得它能应用在自然科学的很多领域,据我所知量子力学当中有这样一个结论:电子在一类周期势中运动时,其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是\Phi(t)=P(t)e^{-BT}。此外,在传染病模型等很多领域,都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理,我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况,使得在这些情况下对于实系统\dot{x}=A(t)x可以找到实的T周期变换x=P(t)y(而这在一般情况下是不能满足的)。