Arctan Law and Recurrence

goal?

1966年世界杯, 英格兰队依靠一个很难说清楚是否越过门线的进球击败德国获得了冠军, 2010年世界杯, 兰帕德越过门线的进球被裁判忽视, 当时人们都说:"出来混, 总是要还的."

为什么出来混总是要还的? 为什么会有风水轮流转的说法? 以前我没有想过, 估计大多数人都没有想过, 而把这些话当作一种不证自明的常识接受下来.

不过, 最近从随机过程这门课里, 我懂得这些话不仅仅是存在于我们感性思维中的常识, 而是可以从数学上进行证明的. 随机过程中有一个结论叫做 Arctan Law, 通俗的说, Arctan Law 告诉我们这样的道理: 只要英格兰队在1966年以后继续坚持参加世界杯, 那么总有一届, 它会为当初的争议球还债. 赌场的庄家都喜欢出千, 我不知道他们有没有学过随机过程, 但数学的确给了他们出千的理由, 因为 Arctan Law 说明, 如果赌场老板把他的收入完全建立在自己和赌徒的运气上的话, 那么肯定有一天, 他会输掉一切.

在解释 Arctan Law 之前, 先要简单说一下什么是布朗运动, 你可以点这里看看维基百科怎么说, 简单的讲, 布朗运动是一种随时间连续变化的毫无规则的运动, 并且这个时间段内的运动对于下一个时间段如何动是完全没有影响的. 可以说, 布朗运动是对现实中"运气"这个奇怪的东西一个非常好的模拟. 下面的一段分析, 对于数学无感的人可以直接跳过看结论, 但是我非常喜欢在 blog 里输入数学公式, 所以我要继续下去:-)

考虑一个一维标准布朗运动, 我们想知道它在1时刻以后回到原点的概率是多少, 也就是要求

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t }.\)

我们先计算这样一个条件概率

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t\ |\ X_1=b}=2\int^{\infty}_{b}\frac{e^{-x^2/2(t-1)}}{\sqrt{2\pi (t-1)}}dx.\)

它的意思是, 首先在1时刻运动到 b 点, 然后在某 s 时刻回到0的概率. 有了它, 我们就可以求出我们之前需要的概率了:

\(P{X_s=0}=\int^{+\infty}_{-\infty}p_1(0,b)P{X_s=0\ |\ X_1=b}db.\)

式子中的 \(p_1(0,b)\) 是1时刻运动到 b 点的概率. 由于布朗运动是服从正态分布的, 我们可以很容易的算出这个概率的值是:

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{\sqrt{t-1}}.\)

这已经非常接近我想要的结果了, 在上式中令 t 取正无穷, 这个概率就变成了:

\(P{X_s=0,\ s\geq 1}=1.\)

这个式子说的是, 无论在 1 时刻运动到哪一点, 只要继续运动下去, 就有概率为1的可能性要回到原点. 通俗的说, 我去赌博的话, 无论我赢了多少, 如果我不能做到见好就收而是越陷越深, 那么总有一天我会把赢来的钱全部输光. 再次回到日志开头的那句话, 我们假设裁判的误判并不是因为幕后黑手在操控, 而是由于他和球员的站位, 裁判大脑内的电流等一系列随机因素决定, 只要英格兰队继续参加世界杯, 他们是需要为自己在1966年的获利而付出代价的.

从好的方面来理解, 每个人都有觉得自己很背的时候, 但是只要你不放弃并且坚持下去, 那么总有一天命运也会对你微笑的.

你看, 数学不仅仅是鲁豫在节目里傻逼兮兮的一句"我最羡慕数学成绩好的人", 它可以告诉我们很多东西.

The Oxford Murders

最近有一些与数学有关的电影,比如凯文史派西演的《21点》还有这部《The Oxford Murders》。《21点》看了一部分,感觉意思不大,讲一个记忆力很强的大学生。TOM个人感觉要好些,不去评价它的剧情,我感兴趣的是它想传达的思想。

这是部由小说改变的电影,原作者就是数学教授,所以出现了很多数学,物理和哲学上的概念,像海森堡测不准原理(这是我高中最着迷的一个定理啊,虽然当时看不懂,呵呵),毕达哥拉斯学派,蝴蝶效应等等。也许数学教授和学生间的日常对话出现这些元素并不奇怪,但是我仍然觉得放在剧中有时略显牵强,尽管作者也通过人物打圆场,但是如果能再自然些无疑就更优秀了。

影片开场是维特根斯坦在战场上冒着枪林弹雨写他的著作《逻辑哲学》,然后是引述这个故事的主人公Seldom的演讲,我最感兴趣的片段也就在这里。Seldom介绍了《逻辑哲学》,他说维特根斯坦运用数学逻辑进行推理,最终得出的结论是在数学之外,没有严格的逻辑存在,而除了逻辑这一条,我们人类又可以相信什么呢?因此哲学没落了,销声匿迹了,对于自己无法描述的东西,人类只能选择沉默。这里我要插一句话,维特根斯坦,或者Seldom得出这个结论真是正中我的下怀,很长时间以来我就不相信哲学了,所谓的哲学家们往往将所谓的哲学原理写的非常晦涩,阐述的过程也非常晦涩。我也试着读过一些,但是很难坚持10分钟以上,最好的情况是看到了几个精妙的句子,然后很快就不知所云,更别提很多作品写的乱七八糟,以至于合上书根本无法在头脑里留下任何印记。为什么“哲学家”要用这些复杂的语言?我不能理解,这些语言有时候隐藏的是很简单的道理,如果是这种情况,那么和数学就很相似,但是数学之所以看上去深奥难懂,那是为了保持其严密性而不得已的选择。哲学呢?写的如此晦涩是不是为了掩盖在逻辑上的漏洞,我妄下这个论断,也是带有我个人的好恶的,呵呵。

接下来,伊利亚伍德对Seldom提问了,他表达了他的看法,也是不同意维特根斯坦的看法。他认为自然界按照数学的法则运作,像斐波纳切数列,黄金分割数,甚至雪花当中都存在着数学结构。Seldom给出了精彩的反驳,他问伊利亚伍德能否说明为什么一个沉睡的癌细胞突然被激活并开始影响周围的健康细胞;能否解释蝴蝶效应,虽然我们知道蝴蝶扇一下翅膀会激起一次风暴,但是我们没办法把某一次风暴单独拿出来研究。人类总是举黄金分割数的例子来描述自然,那是因为人类了解它,但是对于癌细胞和风暴,人类根本不了解,不提及它们甚至是因为对它们感到恐惧。黄金分割数,斐波纳切数列有道理,但是与真相无关。这就是电影要表达的,仅仅用逻辑解释世界是不可能的,在数学世界以外,没有严密的逻辑,对人类来说,还有不可掌握的随机与偶然。

多么有力的开头,绝对可以紧紧的抓住观众,不过电影接下来的部分好与不好只能见仁见智了,无论如何,这是一部电影,它以表达和赚钱为目的,以此为逻辑,作为一个成品,它被投向观众,至于究竟谁说它好,谁说它不好,这是电影本身无法把握的,因为所谓艺术,很多时候本身就是偷懒,随便与偶然的。

安装latex插件

在网上搜索了一下,找到了由zhiqiang制作的latex for wordpress插件(这里是帮助文档),以后可以在blog里输入公式了,比如输入\(\alpha+\beta\geq\gamma\)就可以生成公式:\(\alpha+\beta\geq\gamma\)

这个latex插件基于MimeTex,大致原理是由代码从公用服务器调用图片显示公式,但是公用服务器不保险,随时有停用的可能,为了应对这种情况的发生,可以自己编译mimetex服务并上传到虚拟主机上,目前我还没有这样做,仍然使用公用服务器,如果哪一天停了再搞自己的mimetex服务。

为了庆祝实现这个梦寐以求的功能,呵呵,讲讲最近听到的一个消息。

系里的Sun Zhiwei教授在几年前(据说是几年前)提出了一个以他名字命名的猜想,这个猜想说的是除了216之外的整数都可以分解为一个三角数(所谓三角数就是形如\(\frac{n(n+1)}{2}\)的数)和一个素数的和,而且他最近好像在考察由这个猜想推出哥德巴赫猜想的可能性,虽然这种可能性还只是建立在对素数个数的估计上,anyway,能证明这个猜想的话也是可以让人狠狠的自我陶醉一番的,呵呵。不过,这个猜想看上去有些诡异,那个莫名其妙的216不知道是从哪里跳出来的,而且Terence Tao对这个猜想的评价是random,言下之意有点“随便乱猜”的意思。今后到底怎么发展,根本上说,还是要取决于自然的法则了。

第一周总结

首先声明一下,上一篇中的研究生考试制度指的是研究生入学考试制度,大家不要误解了哈。

第一周过后,这个学期要干什么事基本也明朗了。两门专业必修课,分析和代数:分析对我来说那是相当重要啊,千万不能砸了,据代数老师的博士生说,代数考试出题难,判卷严,总之也不是让人轻松的东西。另外,感谢分析课上有的概念讲解的不那么清晰,逼着我自己把它们搞清楚了,也感谢给代数老师代课的博士生,课上那些概念,定理都是简单提到而已,我回来都会自己验证一遍的。每个星期旁听几何方法的讨论班与微分拓扑课,谁让我们几何太差了哈,要补。
我们这里把数学专业的5个二级学科做了归类,同一类的课程设置是相同的,基础数学和应用数学在一起,面向理论研究,事实证明这两个专业的学生是很忙的;计算,概率统计,运筹在另一类,实际应用比较多,这三个专业的学生总体来说就不如前两个专业的用功了。
先说这么多,看书了。

史上最消极的比赛

今天看电视,说到玛雅文明,提到祭祀活动中有一项是通过球赛预测未来。玛雅人的球赛和现在的足球比较接近,所不同的是触球部位只能是髋部,两支球队谁先将球撞入一个孔就算获胜。在比赛前,玛雅人的祭师暗中为两支球队赋予“吉”或“凶”的寓意,如果代表“吉”的球队取胜则皆大欢喜;如果代表“凶”的球队获胜,那么“凶队”队长就要被处死,意味着“战胜邪恶”。

看到这个节目,我就想了,玛雅足球队的队长真是很郁闷,要在毫不知情的情况下比赛,获胜后还有可能被处死,那么有没有保住性命的方法?稍微应用一下博弈论中的理性原则就知道,最坏的情况无疑是某队队长带领球队取得了胜利,然后发现自己代表的实际上是“凶”的征兆。那么对任何一个队长来说,最好的策略是在比赛中假设自己是“凶”,然后尽力使自己的球队输掉,一旦成功,那么他的生命也可以成功的保住。

玛雅人的数学和天文知识让现代人非常吃惊,我觉得按照他们的智力水平还是可以做到以上推理的,如果球队队长意识到这一点,那么玛雅足球赛真可以称为史上最消极的比赛了。

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