Arctan Law and Recurrence

goal?

1966年世界杯, 英格兰队依靠一个很难说清楚是否越过门线的进球击败德国获得了冠军, 2010年世界杯, 兰帕德越过门线的进球被裁判忽视, 当时人们都说:"出来混, 总是要还的."

为什么出来混总是要还的? 为什么会有风水轮流转的说法? 以前我没有想过, 估计大多数人都没有想过, 而把这些话当作一种不证自明的常识接受下来.

不过, 最近从随机过程这门课里, 我懂得这些话不仅仅是存在于我们感性思维中的常识, 而是可以从数学上进行证明的. 随机过程中有一个结论叫做 Arctan Law, 通俗的说, Arctan Law 告诉我们这样的道理: 只要英格兰队在1966年以后继续坚持参加世界杯, 那么总有一届, 它会为当初的争议球还债. 赌场的庄家都喜欢出千, 我不知道他们有没有学过随机过程, 但数学的确给了他们出千的理由, 因为 Arctan Law 说明, 如果赌场老板把他的收入完全建立在自己和赌徒的运气上的话, 那么肯定有一天, 他会输掉一切.

在解释 Arctan Law 之前, 先要简单说一下什么是布朗运动, 你可以点这里看看维基百科怎么说, 简单的讲, 布朗运动是一种随时间连续变化的毫无规则的运动, 并且这个时间段内的运动对于下一个时间段如何动是完全没有影响的. 可以说, 布朗运动是对现实中"运气"这个奇怪的东西一个非常好的模拟. 下面的一段分析, 对于数学无感的人可以直接跳过看结论, 但是我非常喜欢在 blog 里输入数学公式, 所以我要继续下去:-)

考虑一个一维标准布朗运动, 我们想知道它在1时刻以后回到原点的概率是多少, 也就是要求

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t }.\)

我们先计算这样一个条件概率

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t\ |\ X_1=b}=2\int^{\infty}_{b}\frac{e^{-x^2/2(t-1)}}{\sqrt{2\pi (t-1)}}dx.\)

它的意思是, 首先在1时刻运动到 b 点, 然后在某 s 时刻回到0的概率. 有了它, 我们就可以求出我们之前需要的概率了:

\(P{X_s=0}=\int^{+\infty}_{-\infty}p_1(0,b)P{X_s=0\ |\ X_1=b}db.\)

式子中的 \(p_1(0,b)\) 是1时刻运动到 b 点的概率. 由于布朗运动是服从正态分布的, 我们可以很容易的算出这个概率的值是:

\(P{X_s=0\ \text{for some}\ 1\leq s \leq t}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{\sqrt{t-1}}.\)

这已经非常接近我想要的结果了, 在上式中令 t 取正无穷, 这个概率就变成了:

\(P{X_s=0,\ s\geq 1}=1.\)

这个式子说的是, 无论在 1 时刻运动到哪一点, 只要继续运动下去, 就有概率为1的可能性要回到原点. 通俗的说, 我去赌博的话, 无论我赢了多少, 如果我不能做到见好就收而是越陷越深, 那么总有一天我会把赢来的钱全部输光. 再次回到日志开头的那句话, 我们假设裁判的误判并不是因为幕后黑手在操控, 而是由于他和球员的站位, 裁判大脑内的电流等一系列随机因素决定, 只要英格兰队继续参加世界杯, 他们是需要为自己在1966年的获利而付出代价的.

从好的方面来理解, 每个人都有觉得自己很背的时候, 但是只要你不放弃并且坚持下去, 那么总有一天命运也会对你微笑的.

你看, 数学不仅仅是鲁豫在节目里傻逼兮兮的一句"我最羡慕数学成绩好的人", 它可以告诉我们很多东西.